Một số nghiên cứu về chuỗi điều hòa – Tài liệu text

Bài viết Một số nghiên cứu về chuỗi điều hòa – Tài liệu text thuộc chủ đề về Thắc Mắt thời gian này đang được rất nhiều bạn quan tâm đúng không nào !! Hôm nay, Hãy cùng Buyer.Com.Vn tìm hiểu Một số nghiên cứu về chuỗi điều hòa – Tài liệu text trong bài viết hôm nay nhé ! Các bạn đang xem chủ đề về : “Một số nghiên cứu về chuỗi điều hòa – Tài liệu text”

Đánh giá về Một số nghiên cứu về chuỗi điều hòa – Tài liệu text


Xem nhanh
Cho thấy chuỗi sóng hài 1 + _ + _ + _ + ... thực sự phân kỳ, sử dụng phép thử so sánh trực tiếp. Chứng minh này nổi tiếng vì sử dụng thông minh các thao tác đại số!

Xem bài tiếp theo: https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-series/bc-ratio-alt-series/v/ratio-test-convergence?utm_source=YTu0026utm_medium=Descu0026utm_campaign=APCalculusBC

Bỏ lỡ bài học trước? https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-series/bc-comparison-tests/v/limit-comparison-test-example?utm_source=YTu0026utm_medium=Descu0026utm_campaign=APCalculusBC

AP Calculus BC trên Khan Academy: Tìm hiểu AP Calculus BC - mọi thứ từ AP Calculus AB cùng với một số tính năng bổ sung, chẳng hạn như chuỗi Taylor, để chuẩn bị cho bài kiểm tra AP

Giới thiệu về Học viện Khan: Học viện Khan là một tổ chức phi lợi nhuận với sứ mệnh cung cấp nền giáo dục miễn phí đẳng cấp thế giới cho mọi người, ở bất kỳ đâu. Chúng tôi tin rằng người học ở mọi lứa tuổi nên có quyền truy cập không giới hạn vào nội dung giáo dục miễn phí mà họ có thể làm chủ theo tốc độ của riêng mình. Chúng tôi sử dụng phần mềm thông minh, phân tích dữ liệu sâu và giao diện người dùng trực quan để trợ giúp sinh viên và giáo viên trên toàn thế giới. Các nguồn lực của chúng tôi bao gồm giáo dục mầm non đến giáo dục đại học sớm, bao gồm toán, sinh học, hóa học, vật lý, kinh tế, tài chính, lịch sử, ngữ pháp và hơn thế nữa. Chúng tôi cung cấp dịch vụ luyện thi SAT được cá nhân hóa miễn phí với sự hợp tác của nhà phát triển bài thi, College Board. Học viện Khan đã được dịch sang hàng chục ngôn ngữ và 100 triệu người sử dụng nền tảng của chúng tôi trên toàn thế giới mỗi năm. Để biết thêm thông tin, hãy truy cập www.khanacademy.org, tham gia với chúng tôi trên Facebook hoặc theo dõi chúng tôi trên Twitter tại @khanacademy. Và hãy nhớ rằng, bạn có thể học bất cứ điều gì.

Miễn phí. Cho tất cả mọi người. Mãi mãi. #YouCanLearnAnything

Đăng ký kênh AP Calculus BC của Khan Academy: https://www.youtube.com/channel/UC5A2DBjjUVNz8axD-90jdfQ?sub_confirmation=1
Đăng ký Học viện Khan: https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=khanacademy

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (340.63 KB, 46 trang )

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

BẠCH HỒNG NHUNG

MỘT SỐ NGHIÊN CỨU VỀCHUỖI ĐIỀU HÒA

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆPChuyên ngành: Toán Giải tích

Hà Nội – 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

BẠCH HỒNG NHUNG

MỘT SỐ NGHIÊN CỨU VỀCHUỖI ĐIỀU HÒA

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆPChuyên ngành: Toán Giải tích

Người hướng dẫn khoa học. TS. NGUYỄN VĂN HÀO

Hà Nội – 2013

LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo tổ giải tích khoa Toánvà các bạn sinh viên khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đãđộng viên, giúp đỡ để em có khó khăn hấp dẫn nhất trong suốt quy trình thựchiện khóa luận tốt nghiệp. Đặc biệt, em xin phép bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tớiTS. Nguyễn Văn Hào đã định hướng chọn đề tài và tận tình chỉ bảo,giúp đỡ em hoàn thành tốt khóa luận này.Do thời gian và kiến thức có hạn nên khóa luận không tránh khỏi nhữngGiảm và còn có thiếu sót nhất định. Em xin phép chân thành cảm ơn và tiếpthu những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn sinh viên.

Hà Nội, tháng 5 năm 2013Sinh viên

Bạch Hồng Nhung

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin phép cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào, khóaluận tốt nghiệp ĐH “một vài thống kê về chuỗi điều hòa” đượchoàn thành theo sự nhận thức vấn đề của riêng tác giả, không trùng vớibất kỳ khóa luận nào khác.Trong quy trình thống kê và thực hiện khóa luận, tôi đã kế thừa nhữngthành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2013Sinh viên

Bạch Hồng Nhung

Mục lụcChương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1. Chuỗi số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.1. Khái niệm chuỗi số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2. Dãy hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

8

1.2.1. Miền hội tụ của dãy hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.2. Sự hội tụ đều đặn của dãy hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.3. Tính chất của hàm giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.3. Chuỗi hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.3.1. Các khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.3.2. Chuỗi hàm hội tụ đều đặn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.3.3. Tính chất của tổng chuỗi hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.4. Chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.4.1. Khái niệm chuỗi lũy thừa và bán kính hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.4.2. Tính chất của tổng chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.4.3. Khai triển hàm số thành chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.4.4. Khai triển thành chuỗi Taylor của các hàm sơ cấp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

Chương 2. một số thống kê về chuỗi điều hòa . . . . . . . . .2.1. Chứng minh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2728

2.1.1. Chứng minh 1 [16] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.1.2. Chứng minh 2 [13] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

1

2.1.3. Chứng minh 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.1.4. Chứng minh 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.1.5. Chứng minh 5 [13] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.1.6. Chứng minh 6 [13] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.1.7. Chứng minh 7 [5] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.1.8. Chứng minh 8 [4] [9] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.1.9. Chứng minh 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.1.10. Chứng minh 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.1.11. Chứng minh 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.1.12. Chứng minh 12 [3] [8] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.1.13. Chứng minh 13 [6] [7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

2.1.14. Chứng minh 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

2.1.15. Chứng minh 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

2.2. một vài chứng minh khác. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.2.1. Chứng minh 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.2.2. Chứng minh 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

2.2.3. Chứng minh 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

2.2.4. Chứng minh 19 [15] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

2.2.5. Chứng minh 20 [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

2

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tàiSự hình thành khái niệm có tính manh nhé và một số kết quả nghiên cứu vềchuỗi hàm xuất hiện từ khá sớm. Ngay từ thế kỷ thứ 14, nhà toán học ẤnĐộ Madhava (1350 − 1425) ở vùng Sangamagramma (bang Kerala, miềntây – nam Ấn Độ ) đã biểu diễn một số hàm lượng giác dưới dạng các chuỗihàm. Các bài viết về toán học của ông Hiện tại không còn nữa, nhưngmột số công trình chói lọi của ông lại được nhà toán học Nilakantha vùng

Kerala lưu lại. Madhava tìm ra chuỗi của các hàm vào khoảng năm 1400.Thời ấy, người ta miêu tả các khái niệm này bằng ngôn ngữ rất phức tạp.Tới mãi những năm của thế kỷ 17, các thuật ngữ “hội tụ” (convergence)và “phân kỳ” (divergence) đối với chuỗi hàm mới được Gregory trình bàytheo ngôn ngữ gần như ngày nay. Việc nghiên cứu về chuỗi số tương đươngchuỗi hàm đến nay đã được chỉnh hóa theo ngôn ngữ toán học hiện đại vàrất mẫu mực.một trong những chuỗi số có tính điển hình trong việc trình bày hệ thốngkiến thức về chuỗi số và chuỗi hàm người ta phải kể đến chuỗi điều hòa.Bằng tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của chuỗi số, ta dễ dàng thấy rằngđiều kiện thiết yếu để một chuỗi số hội tụ là dãy số hạng tổng quát củanó phải dần đến 0. mặc khác, với chuỗi điều hòa số hạng tổng quát củachuỗi đảm bảo khó khăn cần về tính hội tụ, nhưng chuỗi này vẫn khônghội tụ. Ngoài việc chuỗi này được ghi nhận như một phản ví dụ kinh điểnvề vi phạm khó khăn cần của một chuỗi hội tụ, nó còn là một chuỗi đượcthống kê liên quan đến rất nhiều các lĩnh vực của toán học tương đươngthường xuyên ngành khoa học khác.Trong khuôn khổ của một khóa luận tốt nghiệp ĐH chuyên ngành toánhọc, công ty chúng tôi mong muốn thể hiện rõ phần nào về vai trò của chuỗi điều3

Mọi Người Xem :   Tên các loại quả trong tiếng Anh thông dụng đầy đủ nhất

hòa qua sự quan tâm của giới toán học. Để thực hiện điều này, Chúng Tôicố gắng trình bày một cách chi tiết các phép chứng minh về sự phân kỳcủa chuỗi điều hòa. Qua 20 phép chứng minh được công ty chúng tôi trình bàytrong khóa luận, phần nào cũng có thể nói được những gì Chúng Tôi chưanói hết về tầm quan trong tương đương ý nghĩa của vấn đề được trình bàytrong khóa luận.Chuỗi điều hòa có dạng∞

n=1

11 1 1 1= 1 + + + + + …n2 3 4 5

Chuỗi số ∞n=1 un được gọi là phân kỳ khi giới hạn của dãy tổng riêngnk=1 uk là vô hạn hoặc không tồn tại.Chuỗi điều hòa là một chuỗi rất nổi tiếng và có thường xuyên ứng dụng trong toánhọc. Các nhà khoa học đã tốn rất thường xuyên thời gian và công sức để nghiêncứu về chuỗi này. Những chứng minh tuy không tuân theo thứ tự cụ thể.Nhưng chúng đều đặn làm nổi bặt lên sự đơn giản, thông minh sâu sắc củacác nhà khoa học. Có hai cách chủ yếu thường dùng để chứng minh sựphân kỳ của chuỗi điều hòa mà Chúng Tôi sẽ giới thiệu dưới đây. Được sựhoạch định của người hướng dẫn, tôi chọn đề tài “một vài thống kêvề chuỗi điều hòa” để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp chuyên ngànhToán giải tích. Bố cục của đề tài bao gồm hai chươngChương 1. Đề tài trình bày những kiến thức căn bản nhất về dãyhàm, chuỗi hàm, chuỗi hàm lũy thừa, miền hội tụ, các tính chất căn bảnvề tổng của chuỗi lũy thừa.Chương 2. Đề tài đi vào trình bày về chuỗi điều hòa, lịch sử chứngminh về sự phân kỳ của chuỗi và một số chứng minh của các nhà toán họcvề sự phân kỳ của chuỗi điều hòa.

4

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứuTrình bày một cách có hệ thống về lịch sử chứng minh về sự phân kỳ củachuỗi điều hòa.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứunghiên cứu một số phương pháp chứng minh sự phân kỳ của chuỗi điềuhòa. tuy nhiên do khuôn khổ bắt buộc đối với một khóa luận tốt nghiệpbậc cử nhân Toán học, nên Chúng Tôi chỉ trình bày vấn đề này trong phạmvi 20 chứng minh nổi bật mà các nhà Toán học đã đưa ra.

4. Phương pháp nghiên cứuĐọc tài liệu, phân tích, tổng hợp, so sánh, tổng hợp kiến thức và xin phép ýkiến người hướng dẫn.

5

Chương 1Kiến thức chuẩn bị

1.1. Chuỗi số1.1.1. Khái niệm chuỗi sốCho dãy số ak ∞k=1 . Tổng vô hạn∞

ak = a1 + a2 + … + ak + ….

(1.1)

k=1

được gọi là một chuỗi số, ak là số hạng thứ k hay số hạng tổng quát củachuỗi (1.1). Đặt

S1 = a1 ;S2 = a1 + a2 ;…Sk = a1 + a2 + … + ak ;Sk được gọi là tổng riêng thứ k của chuỗi số (1.1).∞

ak được gọi là hội tụ (hay phân kỳ ) nếu

Định nghĩa 1.1. Chuỗi sốk=1

dãy các tổng riêng Sk có giới hạn hữu hạn (tương ứng, không tồn tại hoặcgiới hạn đó bằng ±∞). Trong trường hợp hội tụ, nếu lim Sk = s. ta nóik→∞

6

chuỗi có tổng là s và viết

ak = s.k=1∞

Ví dụ 1.1. Chuỗi số

q k hội tụ khi và chỉ khi |q| < 1. Khi đó chuỗi có

k=0

tổng

qk =k=0

1·1−q

Chuỗi này thường được gọi là chuỗi hình học. Thật vậy, tổng riêng thứ kcủa chuỗi được xác định bởi

Sk = 1 + q + q 2 + … + q k−1 .Nếu q = 1 thì dãy tổng riêng của chuỗi Sk = k phân kỳ.1 − qkNếu q = 1 thì Sk =· Dãy này hội tụ khi và chỉ khi |q| < 1. Khi đó,1−q

1dãy có giới hạn là· Vậy ta có điều phải chứng minh.1−q∞

ak

Định lý 1.1 (Tiêu chuẩn Cauchy). Điều kiện cần và đủ để chuỗi sốk=1

hội tụ là ∀ε > 0, ∃k0 = k0 (ε) sao cho ∀k > k0 , ∀p ∈ N∗ ta đều có

|ak+1 + ak+2 + … + ak+p | < ε.∞

ak phân kỳ là ∃ε0 > 0

Hệ quả 1.1. Điều kiện cần và đủ để chuỗi sốk=1

sao cho ∀k đều đặn tồn tại p0 = p0 (k) để

|ak+1 + ak+2 + … + ak+p0 | ≥ ε0 .Ví dụ 1.2. Chuỗi số

k=0

1k

là một chuỗi phân kỳ. Chuỗi này thường được gọi là chuỗi điều hòa. Thật1vậy, chọn ε0 = thì với mọi k đều tồn tại một vài p0 = k để211111|ak+1 + ak+2 + … + ak+p0 | = ++ … +>k= = ε0 .k k+12k2k2Theo hệ quả trên chuỗi điều hòa là chuỗi phân kỳ.7

1.2. Dãy hàm1.2.1. Miền hội tụ của dãy hàmTrước khi trình bày các khái niệm cơ bản và rất cần thiết về chuỗi hàm phụcvụ cho mục đính chính của khóa luận, Chúng Tôi giới thiệu một vài kháiniệm căn bản về dãy hàm. Cho dãy hàm un (x)∞n=1 xác định trên X.

Điểm x0 ∈ X được gọi là điểm hội tụ của dãy hàm nếu dãy số un (x0 )hội tụ. Tập hợp X = x ∈ X : un (x)hội tụ, được gọi là miền hội tụcủa dãy hàm. Với mỗi x0 ∈ X, đặt u(x) = lim un (x), ta được một hàmn→∞

xác định trên miền X0 . Khi đó, dãy hàm un (x) được gọi là hội tụ điểmvề hàm u(x) trên X0 . Điểm x1 được gọi là điểm phân kỳ của dãy hàmnếu dãy số un (x1 ) phân kỳ. Ta có khả năng định nghĩa sự hội tụ điểm tươngđương như sauĐịnh nghĩa 1.2. Dãy hàm un (x) được gọi là hội tụ điểm về hàm u(x)trên X nếu với mọi ε > 0 và với mỗi x ∈ X tồn tại số nguyên dươngn0 = n0 (x, ε) sao cho

|un (x) − u(x)| < ε; ∀n ≥ n0 .Ví dụ 1.3. Xét dãy hàm

1; x ∈ R.x2 + n1Ta thấy với mỗi x ∈ R cố định, lim 2= 0. Vậy miền hội tụ của dãyn→∞ x + nhàm đã cho là toàn bộ tập số thực và hàm giới hạn làfn (x) =

f (x) ≡ 0; x ∈ R.Ví dụ 1.4. Xét dãy hàm

fn (x) = xn ; x ∈ [0, 1].

Với mỗi x ∈ [0, 1) cố định

lim fn (x) = lim xn = 0.

n→∞

n→∞

8

Dễ thấy là fn (1) = 1 → 1 khi n → ∞. Vậy miền hội tụ của dãy hàm đãcho là đoạn [0, 1] và hàm giới hạn là 0, khi x ∈ (0, 1)f (x) = 1, khi x = 1Ví dụ 1.4 cho thấy rằng, giới hạn của một dãy các hàm liên tục trên một tập cóthể là một hàm không liên tục trên tập đó. Nói cách khác lớp các hàm liêntục trên một tập không kín đối với phép toán giới hạn. Để có được tínhchất này chúng ta cần tới khái niệm hội tụ đều đặn của các hàm trên một tập.

1.2.2. Sự hội tụ đều của dãy hàmĐịnh nghĩa 1.3. Ta nói dãy hàm un (x) hội tụ đều đặn đến hàm u(x) trên Xvà ký hiệuX

un (x) ⇒ u(x)nếu với mọi ε > 0 cho trước, tồn tại một vài tự nhiên n0 = n0 (ε) chỉ phụthuộc vào ε sao cho với mọi n ≥ n0 và với mọi x ∈ X ta đều đặn có

|un (x) − u(x)| < ε.1; x ∈ R trong ví dụ 1.3 hội tụ đều vềx2 + nhàm giới hạn f (x) = 0 trên R. Thật vậy, doVí dụ 1.5. Dãy hàm fn (x) =

|fn (x) − f (x)| =do đó, nếu chọn n0 =

11≤·x2 + n n

1+ 1 thìε

|fn (x) − f (x)| < ε; ∀n ≥ n0 , ∀x ∈ R.Điều đó, chứng tỏ dãy hàm đã cho hội tụ đều đặn trên R về hàm f (x) = 0.Định lý 1.2. Dãy hàm un (x) hội tụ đều đặn về hàm u(x) trên X khi và chỉkhilim sup |un (x) − u(x)| = 0.n→∞ x∈X

9

Ví dụ 1.6. Dãy hàm fn (x) = xn ; x ∈ [0, 1] trong ví dụ 1.4 không hội tụđều về hàm giới hạn f (x) = 0 trên [0; 1] vì

sup |fn (x) − f (x)| = sup xn = 1[0;1]

[0;1]

không tiến đến 0 khi n → ∞.

1.2.3. Tính chất của hàm giới hạnĐịnh lý 1.3 (Tính liên tục của giới hạn đạo hàm). Giả sử

(i) Các hàm un (x) liên tục trên X, (∀n = 1, 2, …);(ii) dãy hàm un (x) hội tụ đều đặn về hàm u(x) trên X .Khi đó, u(x) là một hàm liên tục trên X .Định lý 1.4 (Tính khả tích). Giả sử

(i) Các hàm un : [a, b] → R là các hàm liên tục trên [a, b], ∀n = 1, 2, …;(ii) dãy hàm un (x) hội tụ đều đặn trên [a, b] về hàm u(x).Khi đó hàm giới hạn u(x) khả tích trên [a, b] vàb

Mọi Người Xem :   Phân biệt quan hệ công chúng và truyền thông (PR & Media) | Go with Iris

lim

b

un (x)dx =

n→∞a

b

u (x) dx =a

lim un (x)dx.

n→∞a

Định lý 1.5 (Tính khả vi của giới hạn của dãy hàm). Giả sử các điềukiện sau được thỏa mãn

(i) Các hàm un (x) : (a, b) → R là các hàm khả vi trên khoảng (a, b),∀n = 1, 2, ….;(ii) dãy hàm un (x) hội tụ điểm về hàm u(x) trên khoảng (a, b);(iii) dãy các đạo hàm un (x) hội tụ đều đặn về hàm u(x) trên khoảng (a, b).Khi đó dãy hàm un (x) hội tụ đều đặn đến hàm u(x) trên (a, b). Hàm giới hạnu(x) khả vi vàddx

lim un (x) = u (x) = lim un (x).

n→∞

n→∞

10

1.3. Chuỗi hàm số1.3.1. Các khái niệmCho dãy un (x) xác định trên X . Khi đó tổng vô hạn∞

u1 (x) + u2 (x) + … + un (x) + … =

un (x).

(1.2)

n=1

được gọi là một chuỗi hàm xác định trên X . Hàm un (x) gọi là số hạng thứn của chuỗi. Tổng

Sn (x) = u1 (x) + u2 (x) + … + un (x).

(1.3)

được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi. Điểm x0 được gọi là điểm hội tụ(phân kỳ) của chuỗi hàm (1.2) nếu x0 là điểm hội tụ (phân kỳ) của dãytổng riêng (1.3). Tập hợp tất cả các điểm hội tụ của chuỗi hàm được gọilà miền hội tụ của chuỗi hàm. Nếu D là miền hội tụ của dãy Sn (x), thìcũng gọi D là miền hội tụ của chuỗi (1.2). Nếu lim Sn (x) = u(x) thì u(x)n→∞

được gọi là tổng của chuỗi hàm và ta viết∞

un (x) = u(x).n=1

Nếu dãy tổng riêng Sn (x) hội tụ đều đặn về hàm u(x) trên D, thì chuỗi hàm(1.2) được cũng được gọi là hội tụ đều về hàm u(x) trên D. Khi đó, taviết∞

un (x) ⇒ u(x); x ∈ D.n=1

Ví dụ 1.7. Xét chuỗi hàm

xk .k=0

Ta có dãy tổng riêngn 1 − x , nếu x = 11−xSn (x) =xk =

n,nếu x = 1k=0n−1

11

có miền hội tụ là D = (−1; 1) và hàm giới hạn là

S(x) =

1; x ∈ (−1, 1).1−x

Vì vậy chuỗi đang xét có miền hội tụ là khoảng (−1, 1) và∞

xk =k=0

1;x

|x| < 1.

1.3.2. Chuỗi hàm hội tụ đều đặnĐể xét sự hội tụ đều của chuỗi hàm ta có một vài tiêu chuẩn sau đây

Định lý 1.6 (Tiêu chuẩn Cauchy). Điều kiện cần và đủ để chuỗi hàm∞

un (x) hội tụ đều trên D là: với mỗi số ε > 0 cho trước bất kỳ, tồn tạin=1

một vài một cách tự nhiên n0 = n0 (ε) sao cho với mọi n ≥ n0 , với mọi số nguyêndương p và với mọi x ∈ D ta đều có

|un+1 (x) + un+2 (x) + … + un+p (x)| < ε.∞

Chứng minh. Gọi Sn (x) là dãy tổng riêng của chuỗi hàm số

un (x).n=1

Chuỗi hàm hội tụ đều trên X khi và chỉ khi dãy hàm Sn (x) hội tụ đều đặntrên D. Theo tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ đều đặn của một dãy hàm số, từ∞

un (x) hội tụ đều đặn trên D khi và chỉ khi với một số

đó suy ra chuỗi hàmn=1

ε > 0 cho trước bất kỳ, tồn tại một số tự nhiên n0 sao cho∀n, p ∈ N ∗ , n ≥ n0 ⇒ |Sn+p (x) − Sn (x)| < ε; ∀x ∈ D.Tức là

|un+1 (x) + un+2 (x) + … + un+p (x)| ∞

un (x) xác định

Định lý 1.7 (Dấu hiệu Weierstrass). Cho chuỗi hàmn=1

trên D. Nếu tồn tại một dãy số dương sao cho

(i) |un (x)| ≤ cn ; ∀x ∈ D, n ∈ N∗ ;∞

(ii) chuỗi số

cn hội tụ thì chuỗi hàmn=1

un (x) hội tụ đều trên D.n=1

12

Chứng minh. Với mọi x ∈ D, theo dấu hiệu so sánh ta có các chuỗi số∞

|un (x)| hội tụ. Đặt u(x) =

un (x) vàn=1

n=1

un (x).n=1

cn hội tụ nên ∀ε > 0, ∃n0 : ∀n > n0 , ∀p ∈ N∗

Vìn=1

εcn+1 (x) + cn+2 (x) + … + cn+p (x) < .2Cho p → ∞ ta được∞

cn+i = cn+1 (x) + cn+2 (x) + … + cn+p (x) <n=1

ε

2

Từ đó ∀n > n0∞

u(x) −

|un+1 (x)| ≤

un+i (x) ≤

uk (x) =i=1

k=1

i=1∞

= |σ(x)| −

n=1∞

|uk (σ)| = σ(x) −i=1

cn+i|uk (σ)| .

i=1

Điều đó chứng tỏ rằng∞

u(x) −

|uk (x)| = σ(x).

uk (x) = u(x)vài=1

k=1

Ví dụ 1.8. Xét sự hội tụ đều đặn của chuỗi hàm sau trên R∞

k=1

cos kx·

k2 + 1

Với mọi x ∈ R ta đều có

uk (x) =

cos kx1≤·k2 + 1k2

Do chuỗi số dương

1hội tụ nên chuỗi hàm đã cho hội tụ đều trên R.2kk=1

13

mặt khác ta còn định lý Dirchlet và định lý Abel để xét sự hội tụ đều đặn nhưsau∞

an (x)bn (x); x ∈ D.

Định lý 1.8 (Dấu hiệu Dirchlet). Xét chuỗi hàmn=1

Giả sử

n

(i) Dãy tổng riêng Sn (x) của chuỗi hàm

an (x) bị chặn đều đặn trên Xn=1

có nghĩa là tồn tại một số M > 0 sao chon

|Sn (x)| =

ak (x) ≤ M ; ∀n, ∀x ∈ D;k=1

(ii) dãy hàm bn đơn điệu và hội tụ đều đặn trên D đến 0.∞

an (x)bn (x) hội tụ đều đặn trên D.

Khi đó, chuỗi hàmn=1

Chứng minh. Giả sử bn là dãy đơn điệu Giảm và bn hội tụ đều đặn dến 0 trênD. Khi đó, với ε > 0 tồn tại số tự nhiên n0 = n0 (ε) sao cho

0 < bn (x) <

ε; ∀n > n0 , ∀x ∈ D.2M

Từ bất đẳng thức này cùng lúc ấy kết hợp với giả thiết của định lý ta có:n+m

n+m

bk (x) [Sk (x) − Sk−1 (x)]

bk (x)ak (x) =k=n+1

k=n+1

= |−bn+1 (x)Sn (x) + [bn+1 (x) − bn+2 (x)] Sn+1 (x)|+… [bn+m−1 (x) − bn+m (x)] Sn+m−1 (x) + bn+m (x)Sn+m (x)≤ M [bn (x) + (bn (x) − bn+1 (x)) + …(bn+m−1 (x) − bn+m (x)) + bn+m (x)]= 2M bn (x) < ε; ∀x ∈ D, ∀n > n0 , ∀m ∈ N∗∞

an (x)bn (x) hội tụ đều đặn.

Vậy chuỗi hàm

n=1

14

an (x)bn (x), x ∈ D. Giả

Định lý 1.9 (Dấu hiệu Abel). Cho chuỗi hàmn=1

sử

an (x) hội tụ đều đặn trên D;

(i) Chuỗi hàmn=1

(ii) dãy hàm bn (x) đơn điệu và bị chặn đều đặn trên D.∞

an (x)bn (x) hội tụ đều trên D.

Khi đó, chuỗin=1

an (x) hội tụ đều trên D. Với

Chứng minh. Từ giả thiết chuỗi hàmn=1

ε > 0 tồn tại số một cách tự nhiên n0 = n0 (ε) sao cho với mọi n > n0 và mọi số tựnhiên m ta đều đặn cón+m

|Sn+m (x) − Sn (x)| =

ak (x) <k=n+1

ε; ∀x ∈ D,3M

n

ak (x).

trong đó Sn =k=1

Đặt

α1 (x) = an+1 (x) = Sn+1 (x) − Sn (x)α2 (x) = an+1 (x) + an+2 (x) = Sn+2 (x) − Sn (x)

…αm (x) = an+1 (x) + … + an+2 (x) = Sn+m (x) − Sn (x).Khi đó |αj (x)|

ε; ∀j = 1, 2, …, m và3M

n+m

ak (x)bk (x) = bn+1 α1 + bn+2 (α2 − α1 ) + … + bn+m (αm − αm−1 )k=n+1

= (bn+1 − bn+2 )α1 + (bn+2 − bn+3 )α2 + …+ (bn+m−1 − bn+m )αm−1 + bn+m αm .Bây giờ, ta giả sử bn là dãy đơn điệu tăng (trường hợp đơn điệu hạn chế ta

15

chứng minh tương tự), khi đó với mọi n > n0 , với mọi n ∈ N∗ .n+m

n+m

ε|bk (x) − bk+1 (x)| + |bn+m (x)|ak (x)bk (x) ≤3Mk=n+1

k=n+1ε≤(|bn+1 (x) − bn+m (x)| + |bn+m (x)|)3M+∞

an (x)bn (x) hội tụ đều đặn trên D.

do đó, chuỗi hàmn=1

1.3.3. Tính chất của tổng chuỗi hàmTừ tính liên tục của giới hạn của dãy hàm ta dễ dàng nhận được tính liêntục của tổng chuỗi hàm [17]∞

un (x), x ∈ D. Giả sử

Định lý 1.10 (Tính liên tục). Cho chuỗi hàm

k=1∗

(i) Các hàm un liên tục trên D, với mọi n ∈ N ;∞

(ii) chuỗi hàm

un (x) hội tụ đều đặn trên D.k=1

Khi đó, tổng S(x) của chuỗi hàm đó là một hàm liên tục trên D.∞

un (x), x ∈ [a, b]. Giả sử

Định lý 1.11 (Định lý Dini). Cho chuỗi hàmn=1

(i) Các hàm un (x) ≥ 0 và liên tục trên [a, b] với mọi n ∈ N∗ ;∞

Mọi Người Xem :   Sinh ngày 23/2 là cung gì – Giải mã bí ẩn về tình yêu và tính cách

un (x) có tổng là hàm S(x) liên tục trên [a, b].

(ii) chuỗi hàm∞

n=1

un (x) hội tụ đều đặn trên [a, b].

Khi đó, chuỗin=1

Chứng minh. Ta chứng minh cho trường hợp un (x) là các hàm không âmtrên [a, b] (Trường hợp un (x) là các hàm không dương được chứng minhtương tự). Để làm điều đó, ở đây ta đặt∞

n

uk (x) = S(x) −

ϕn (x) =k=n+1

uk (x).k=1

16

Khi đó, ϕn ; n = 1, 2, … là những hàm liên tục trên [a, b]. Hơn nữa, với mỗix ∈ [a, b] cố định, ϕn (x) là một dãy Giảm

ϕ1 (x) ≥ ϕ2 (x) ≥ …ϕn (x) ≥ …,nên lim ϕn (x) = 0. Ta dùng phương pháp phản chứng để chứng minhn→∞

uk (x) không hội tụ đều trên [a, b]. Khi đó,

định lý. Giả sử, chuỗi hàmk=1

tồn tại số ε0 > 0 để với mọi n = 1, 2, … tìm được các phần tử xn ∈ [a, b]sao cho ϕn (xn ) ≥ ε0 . Theo nguyên lý Bolzano-Weierstrass, từ dãy xn ta sẽ

trích được dãy con xnk ⊂ xn hội tụ và lim xnk = x0 với x0 ∈ [a, b].k→∞

Do tính liên tục của các hàm ϕn trên [a, b] nên

lim ϕn (xnk ) = ϕn (x0 ).

k→∞

mặt khác, với m bất kỳ và với k đủ lớn sao cho nk ≥ m ta đều có

ϕm (xnk ) ≥ ϕn (xnk ) ≥ ε0 .Cho k → ∞ ta được lim ϕm (xnk ) = ϕm (x0 ) > ε0 , tình trạng này mâu thuẫnk→∞

với khó khăn lim ϕm (x0 ) = 0. Như vậy, định lý đã được chứng minh.m→∞

un (x), x ∈

Định lý 1.12 (Giới hạn của tổng chuỗi hàm). Cho chuỗi hàmk=1

D. Giả sử x0 là một điểm tụ của D và∞

(i) Chuỗi hàm

un (x) hội tụ đều trên D đến tổng S(x);k=1

(ii) tồn tại lim un (x) = Cn ; ∀n = 1, 2, …x→x0∞

Ck hội tụ và lim S(x) =

Khi đó, chuỗi

x→x0

k=1

Ck .k=1∞

un (x), x ∈ [a, b]. Giả

Định lý 1.13 (Tính khả tích). Cho chuỗi hàmn=1

sử

(i) Các hàm un (x) khả tích trên [a, b], với mọi n ∈ N∗ ;∞

(ii) chuỗi hàm

un (x) hội tụ đều đặn trên [a, b] và có tổng là S(x).n=1

17

Khi đó, S(x) là một hàm khả tích trên [a, b] và∞

b

b

un (x)dx =n=1 a

u(x)dx.a∞

un (x), x ∈ (a, b). Giả sử

Định lý 1.14 (Tính khả vi). Cho chuỗi hàmn=1∞

un (x) hội tụ tại một điểm x0 ∈ (a, b);

(i) Chuỗi hàmn=1

(ii) các hàm un (x) khả vi trên (a, b), với mọi n ∈ N∗ ;∞

(iii) chuỗi các đạo hàmn=1

un (x) hội tụ đều đặn trên (a, b) và có tổng là

hàm g(x).∞

un (x) hội tụ đều đặn

Khi đó, chuỗi hàm thì u(x) có đạo hàm trên [a, b] vàn=1

trên (a, b), tổng S(x) của nó là hàm khả vi trên (a, b) và∞

S (x) = g(x) hay

un (x)n=1

=

un (x).n=1

Ví dụ 1.9. Xét sự hội tụ của chuỗi∞

n=1

xn·n!

Ta có

|n!|1|an+1 |= lim= lim= 0,n→∞ |an |n→∞ |(n + 1)!|n→∞ n + 1Vậy chuỗi lũy thừa đã cho có bán kính hội tụ R = +∞ và chuỗi hội tụ tạimọi x.lim

Ví dụ 1.10. Xét tính tuyệt đối và đều của chuỗi hàm sau trên R

n=1

sin nx·n3

1sin nx≤với mọi n và mọi x ∈ R. mặt khác, như ta đã biết chuỗi33nn∞ 1∞ sin nxsốhội tụ. Từ định lý trên, ta suy ra rằng chuỗi hàmhội33n=1 nn=1 ntụ tuyệt đối và đều đặn trên R.Ta có

18

1.4. Chuỗi lũy thừa1.4.1. Khái niệm chuỗi lũy thừa và bán kính hội tụChuỗi lũy thừa là chuỗi có dạng∞2

n

an x n .

(1.4)

an (x − x0 )n .

(1.5)

a0 + a1 (x) + a2 x + … + an x + … =n=0

Hoặc

∞2

a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 ) + … =n=0

trong đó x0 , a1 , a2 , … là những số thực.Điểm x0 được gọi là tâm của chuỗi lũy thừa. Chuỗi lũy thừa bao giờ cũng

hội tụ tại tâm của nó. do đó, miền hội tụ của chuỗi lũy thừa khác rỗng.Chuỗi (1.4) nhận được từ chuỗi (1.5) bằng phép đổi biến y = x − x0 , nênvề mặt lý thuyết ta chỉ cần nghiên cứu chuỗi (1.4) là đủ.Định lý 1.15 (Abel). Cho chuỗi lũy thừa∞

an xn = a0 + a1 (x) + a2 x2 + … + an xn + …n=0

khi đó tồn tại một vài R ∈ [0, +∞] sao cho

(i) Chuỗi (1.4) hội tụ trong khoảng (−R, R) và hội tụ đều trong mỗiđoạn [−r, r] với 0 < r < R;(ii) chuỗi (1.4) phân kỳ tại mọi x mà |x| > R.Số thực R > 0 tồn tại theo định lý Abel được gọi là bán kính hội tụ củachuỗi lũy thừa (1.4), còn khoảng (−R, R) được gọi là khoảng hội tụ củachuỗi lũy thừa đó.Chuỗi lũy thừa (1.4) chỉ hội tụ tại một điểm 0 thì ta nói chuỗi đó có bánkính hội tụ R = 0.Như vậy, để tìm miền hội tụ của một chuỗi lũy thừa, chúng ta chỉ cần tìmbán kính hội tụ R sau đó xét thêm tại hai điểm x = ±R là được.Để tìm bán kính hội tụ, chúng ta có thế sử định lý sau19

Định lý 1.16 (Cauchy – Hadamard). Cho chuỗi lũy thừa

an xn . Giả sử

n=1

ta cón

ρ = lim

n→∞

|an |

hoặc

lim

n→∞

an+1an

.

Khi đó, bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa là1nếu 0 < ρ < +∞

 ρR = +∞ nếu ρ = 0nếu ρ = +∞Chứng minh. Đặt un (x) = an xn , với x = 0,

lim

n

n→∞

|un (x)| = lim ( n |an ||x|) = ρ.n→∞

Chuỗi lũy thừa hội tụ nếu ρ < 1 và phân kỳ nếu ρ > 1. do đó11Nếu 0 < ρ < +∞ thì chuỗi hội tụ với |x| < và phân kỳ với |x| > ·ρρ1Vậy bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa là R = ·ρNếu ρ = 0 thì ρ = 0 thì chuỗi lũy thừa hội tụ với mọi x ∈ R. Vậy bánkính hội tụ của chuỗi lũy thừa là R = +∞.

Nếu ρ = +∞ thì lim supn→∞

n

|un (x)| = +∞. Vậy bán kính hội tụ của

chuỗi lũy thừa là R = 0.Ví dụ 1.11. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi∞

n=1

Bởi vì

an =nên

lim

n→∞

1;n2n

(x + 1)n·n2n

an+1 =

1;(n + 1)2n+1

an+1n2n1n1= lim=lim=·n→∞ (n + 1)2n+1an2 n→∞ n + 1 2

Vì vậy, bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa là R = 2.20

(1.6)

Ví dụ 1.12. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa+∞

n=0

(−1)n xn·2n + 1

Ta có

lim

n→∞

n

|an | = lim √nn→∞

1= 1.2n + 1

Vậy chuỗi lũy thừa đã cho có bán kính hội tụ R = 1 và khoảng hội tụ(−1, 1).+∞1là chuỗi phân kỳ.Tại x = −1 chuỗi trở thànhn=0 2n + 1

(−1)n xn

Tại x = 1 chuỗi trở thànhhội tụ theo dấu hiệu Leibnitz.n=0 2n + 1Vậy miền hội tụ của chuỗi lũy thừa là −1 +∞

1.4.2. Tính chất của tổng chuỗi lũy thừaĐịnh lý 1.17 (Tính liên tục của tổng chuỗi hàm lũy thừa). Giả sử chuỗi∞

lũy thừa

an xn có bán kính hội tụ R > 0. Khi đó, tổng S(x) của chuỗi

n=0

lũy thừa là một hàm liên tục trong (−R, R).Chứng minh. Giả sử x0 là điểm bất kỳ thuộc khoảng (−R, R). Khi đó, tồntại số r > 0 sao cho x0 ∈ [−r, r] ⊂ (−R, R). Theo định lý Abel chuỗi lũythừa hội tụ đều đặn trên [−r, r]. Hơn nữa các hàm an (x) = an xn liên tục trênđoạn đó, nên theo định lý (1.15), tổng S(x) của chuỗi lũy thừa là hàm liêntục trên [−r, r]. Vì vậy S(x) là hàm liên tục trên [−r, r].Định lý 1.18 (Tích phân từng số hạng của chuỗi lũy thừa). Giả sử, chuỗi∞

lũy thừa

an xn có bán kính hội tụ R > 0. Khi đó tổng S(x) của chuỗi

n=0

lũy thừa là một hàm số khả tích trên mọi đoạn con [a, b] ⊂ (−R, R) hơnnữab

S(x)dx =a

b

xn dx.

ann=1

21

a



Các câu hỏi về chuỗi điều hòa là gì


Nếu có bắt kỳ câu hỏi thắc mắt nào vê chuỗi điều hòa là gì hãy cho chúng mình biết nhé, mõi thắt mắt hay góp ý của các bạn sẽ giúp mình cải thiện hơn trong các bài sau nhé <3 Bài viết chuỗi điều hòa là gì ! được mình và team xem xét cũng như tổng hợp từ nhiều nguồn. Nếu thấy bài viết chuỗi điều hòa là gì Cực hay ! Hay thì hãy ủng hộ team Like hoặc share. Nếu thấy bài viết chuỗi điều hòa là gì rât hay ! chưa hay, hoặc cần bổ sung. Bạn góp ý giúp mình nhé!!

Các Hình Ảnh Về chuỗi điều hòa là gì


Các hình ảnh về chuỗi điều hòa là gì đang được chúng mình Cập nhập. Nếu các bạn mong muốn đóng góp, Hãy gửi mail về hộp thư [email protected] Nếu có bất kỳ đóng góp hay liên hệ. Hãy Mail ngay cho tụi mình nhé

Tra cứu thêm dữ liệu, về chuỗi điều hòa là gì tại WikiPedia

Bạn nên tra cứu thêm nội dung về chuỗi điều hòa là gì từ trang Wikipedia tiếng Việt.◄ Tham Gia Cộng Đồng Tại

???? Nguồn Tin tại: https://buyer.com.vn/

???? Xem Thêm Chủ Đề Liên Quan tại : https://buyer.com.vn/hoi-dap/

Related Posts

Tính chất hóa học của Bari (Ba) | Tính chất vật lí, nhận biết, điều chế, ứng dụng. 1

Tính chất hóa học của Bari (Ba) | Tính chất vật lí, nhận biết, điều chế, ứng dụng.

ContentsĐánh giá về Một số nghiên cứu về chuỗi điều hòa – Tài liệu textCác câu hỏi về chuỗi điều hòa là gìCác Hình Ảnh Về chuỗi…
Sorbitol là gì? Tác dụng của sorbitol C6H14O6 trong cuộc sống 2

Sorbitol là gì? Tác dụng của sorbitol C6H14O6 trong cuộc sống

ContentsĐánh giá về Một số nghiên cứu về chuỗi điều hòa – Tài liệu textCác câu hỏi về chuỗi điều hòa là gìCác Hình Ảnh Về chuỗi…
Bạc là gì? Những ứng dụng của bạc trong cuộc sống 3

Bạc là gì? Những ứng dụng của bạc trong cuộc sống

ContentsĐánh giá về Một số nghiên cứu về chuỗi điều hòa – Tài liệu textCác câu hỏi về chuỗi điều hòa là gìCác Hình Ảnh Về chuỗi…
CH3Cl - metyl clorua - Chất hoá học 4

CH3Cl – metyl clorua – Chất hoá học

ContentsĐánh giá về Một số nghiên cứu về chuỗi điều hòa – Tài liệu textCác câu hỏi về chuỗi điều hòa là gìCác Hình Ảnh Về chuỗi…
I2 - Iot - Chất hoá học 5

I2 – Iot – Chất hoá học

ContentsĐánh giá về Một số nghiên cứu về chuỗi điều hòa – Tài liệu textCác câu hỏi về chuỗi điều hòa là gìCác Hình Ảnh Về chuỗi…
7 lý do thú vị giải thích vì sao bạn thường xuyên bị muỗi đốt 6

7 lý do thú vị giải thích vì sao bạn thường xuyên bị muỗi đốt

ContentsĐánh giá về Một số nghiên cứu về chuỗi điều hòa – Tài liệu textCác câu hỏi về chuỗi điều hòa là gìCác Hình Ảnh Về chuỗi…