Căn bậc hai của 3 là một số thực dương sao cho khi nhân với chính nó thì cho ra số 3. Chính xác hơn, nó được gọi là căn bậc hai số học của 3, để phân biệt với số tâm có cùng tính chất. Nó được kí hiệu là √3 hoặc 3^1⁄₂.

Căn bậc hai của 3 là một số vô tỉ. Nó còn được biết là hằng số Theodorus, đặt tên theo Theodorus xứ Cyrene, người đã chứng minh tính vô tỉ của nó.

Sáu mươi chữ số đầu tiên trong biểu diễn thập phân của nó là:

1.73205080756887729352744634150587236694280525381038062805580… (dãy số A002194 trong bảng OEIS)

Thuật toán tính toán

Có một vài cách để xấp xỉ tổng giá trị của √3. Thuật toán thường được dùng trong các máy tính cá nhân và máy tính bỏ túi là phương pháp Babylon để tính căn bậc hai của một số. Các bước tiến hành như sau:

1. Lấy một số a > 0 bất kì làm tổng giá trị ban đầu (càng gần √3 càng tốt)
2. Tính từng số hạng theo công thức truy hồi sau:

 

a

n + 1

=

1 2

(

a

n

+

3

a

n

)

.

displaystyle a_n+1=frac 12left(a_n+frac 3a_nright).

1. Lặp lại bước 2 cho đến khi đạt được độ chính xác cần thiết.

Dãy (a_n) trên là dãy hội tụ bậc hai, tức mỗi lần tính cho ta khoảng gấp đôi số chữ số thập phân đúng. Bắt đầu với a = 1 cho ta các xấp xỉ:

• a₁ = 7/4 = 1.75
• a₂ = 97/56 = 1.73214…
• a₃ = 18817/10864 = 1.73205081…
• a₄ = 708158977/408855776 = 1.732050807568877295…

Tháng 12 năm 2013, giá trị của √3 đã được tính đến ít nhất mười tỉ chữ số thập phân.^[1]

✅ Mọi người cũng xem : xâu ký tự là gì

Xấp xỉ hữu tỉ

Phân số 97/56 (&0000000000000001.7321431.732142857…) có thể được dùng làm xấp xỉ cho căn bậc hai của 3. Tuy chỉ có mẫu số 56, nó chỉ cách biệt giá trị đúng ít hơn 1/10,000 (khoảng &-1-1-10000000000000.0000929.2×10⁻⁵). giá trị làm tròn 1.732 đúng đến 99.99% tổng giá trị thực.

Archimedes khẳng định rằng (1351/780)² > 3 > (265/153)² ,^[2] lần lượt với sai số là 1/608400 (sáu chữ số thập phân) và 2/23409 (bốn chữ số thập phân).

Liên phân số

√3 có khả năng được biểu diễn bằng phân số liên tục [1;1,2,1,2,1,2,1,…] (dãy số A040001 trong bảng OEIS), tức là

 

3

= [ 1 ;

1 , 2

¯

] = 1 +

1

1 +

1

2 +

1

1 +

1

2 +

⋱

.

displaystyle sqrt 3=[1;overline 1,2]=1+cfrac 11+cfrac 12+cfrac 11+cfrac 12+_ddots .

Theo tính chất của liên phân số thì nếu

 [

1

2

1

3

]

n

=

[

a

11

a

12

a

21

a

22

]

displaystyle beginbmatrix1&21&3endbmatrix^n=beginbmatrixa_11&a_12a_21&a_22endbmatrix

thì khi n 🡒 ∞

 

3

= 2 ⋅

a

22

a

12

− 1

displaystyle sqrt 3=2cdot frac a_22a_12-1

ngoài ra cũng có thể biễu diễn dưới dạng liên phân số tổng quát như

 [ 2 ; − 4 , − 4 , − 4 , . . . ] = 2 −

1

4 −

1

4 −

1

4 −

⋱

displaystyle [2;-4,-4,-4,…]=2-cfrac 14-cfrac 14-cfrac 14-_ddots

thực chất là [1;1,2,1,2,1,2,1,…] tính hai số hạng cùng lúc.

✅ Mọi người cũng xem : chữa trĩ ở đâu

Biểu diễn bình phương

Biểu thức bình phương lồng nhéu sau tiến về √3:

 

3

= 2 − 2

(

1 2

−

(

1 2

−

(

1 2

−

(

1 2

− …

)

2

)

2

)

2

)

2

=

7 4

− 4

(

1 16

+

(

1 16

+

(

1 16

+

(

1 16

+ …

)

2

)

2

)

2

)

2

.

displaystyle ! sqrt 3=2-2left(frac 12-left(frac 12-left(frac 12-left(frac 12-dots right)^2right)^2right)^2right)^2=frac 74-4left(frac 116+left(frac 116+left(frac 116+left(frac 116+dots right)^2right)^2right)^2right)^2.

✅ Mọi người cũng xem : giá trị pháp lý là gì

Chứng minh tính vô tỉ

Chứng minh bằng lùi vô hạn

Chứng minh thường được sử dụng cho tính vô tỉ của √3 sử dụng phương pháp lùi vô hạn của Fermat. Phương pháp này có khả năng được áp dụng cho bất kì số nguyên nào không phải là số chính phương.

1. Giả sử √3 là một số hữu tỉ, tức √3 có thể viết dưới dạng một phân số tối giản a/b, trong đó a và b nguyên tố cùng nhau.
2. Ta suy ra a²/b² = 3 hay a² = 3b².   (a² và b² là các số nguyên)
3. Vì vậy a² chia hết cho 3, nên a cũng chia hết cho 3, tức tồn tại số nguyên k sao cho a = 3k.
4. Thay 3k cho a trong đẳng thức ở bước 2: 3b² = (3k)² ta được b² = 3k².
5. Lập luận như bước 3, ta được b² là số chia hết cho 3, nên b cũng chia hết cho 3.
6. Như vậy cả a và b đều chia hết cho 3, nên chúng có một ước chung là 3, trái với giả thiết rằng a và b là hai số nguyên tố cùng nhéu.

✅ Mọi người cũng xem : hoa sữa là biểu tượng gì

Chứng minh bằng định lý nghiệm hữu tỉ

Một chứng minh khác cho tính vô tỉ của √3 là sử dụng một trường hợp đặc biệt của định lý nghiệm hữu tỉ, phát biểu rằng nếu P(x) là một đa thức monic (tức đa thức có hệ số bậc cao nhất bằng 1) với hệ số nguyên, thì bất kì nghiệm hữu tỉ nào của P(x) cũng là một số nguyên. Áp dụng định lý cho đa thức P(x) = x² − 2, ta suy ra √3 hoặc là số nguyên hoặc là số vô tỉ. Vì 1 < √3 < 2 nên nó không là một số nguyên, do đó √3 là một số vô tỉ.

Hình học và lượng giác

√3 là độ dài cạnh của một tam giác đều đặn nội tiếp đường tròn có bán kính bằng 1. Tương tự, nếu một tam giác đều đặn có cạnh 1 bị chia làm hai nửa bằng nhéu, mỗi nửa là một tam giác vuông 30-60-90 với cạnh huyền bằng 1, cạnh góc vuông là 1/2 và √3/2. Từ đó ta suy ra được tổng giá trị các hàm số lượng giác của 60° và 30°.

 

sin ⁡

60

∘

=

3

2

tan ⁡

60

∘

=

3

displaystyle beginaligned&sin 60^circ =frac sqrt 32[4pt]&tan 60^circ =sqrt 3endaligned

Căn bậc hai của 3 cũng có trong biểu thức đại số của nhiều hằng số lượng giác như^[3]

 

sin ⁡

15

∘

=

2

4

(

3

− 1 )

tan ⁡

15

∘

= 2 −

3

sin ⁡

3.75

∘

= sin ⁡

π 48

=

1 2

2 −

2 +

2 +

3

cos ⁡

3.75

∘

= sin ⁡

π 48

=

1 2

2 +

2 +

2 +

3

displaystyle beginalignedsin 15^circ &=frac sqrt 24(sqrt 3-1)tan 15^circ &=2-sqrt 3sin 3.75^circ &=sin frac pi 48=frac 12sqrt 2-sqrt 2+sqrt 2+sqrt 3cos 3.75^circ &=sin frac pi 48=frac 12sqrt 2+sqrt 2+sqrt 2+sqrt 3endaligned

ngoài ra √3 còn là khoảng cách giữa hai cạnh đối nhéu của hình lục giác đều có cạnh 1, hay là đường chéo của hình lập phương đơn vị.

✅ Mọi người cũng xem : hội nghị trực tuyến teleconference là gì

Ứng dụng khác

Kỹ thuật điện

Trong điện lực, hiệu điện thế giữa hai dây pha (điện áp dây) trong hệ thống điện ba pha bằng √3 nhân hiệu điện thế của giữa một dây pha và dây trung hòa (điện áp pha). Đây là do hai pha cách nhau 120°, và hai điểm cách nhau 120 độ trên đường tròn thì có khoảng cách bằng √3 nhân bán kính đường tròn đó.

Xem thêm

• Căn bậc hai của 2
• Căn bậc hai của 5

✅ Mọi người cũng xem : niệu đạo nam là gì

Ghi chú

Tham khảo

• S., D.; Jones, M. F. (1968). “22900D approximations to the square roots of the primes less than 100”. Mathematics of Computation. 22 (101): 234–235. doi:10.2307/2004806. JSTOR 2004806.
• Uhler, H. S. (1951). “Approximations exceeding 1300 decimals for √3, 1/√3, sin(π/3) and distribution of digits in them”. Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 37 (7): 443–447. doi:10.1073/pnas.37.7.443. PMC 1063398. PMID 16578382.
• Wells, D. (1997). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers . London: Penguin Group. tr. 23.

liên kết ngoài

• Theodorus’ Constant tại MathWorld
• [1] Kevin Brown
• [2] E. B. Davis